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初手率と期待値 - 誰得確率論

そろそろ( ノ゚Д゚)こんばんわ、ぐりこです。

今日も誰得確率論を書こうと思います。
だんだん計算量が多くなって計算過程が書けなくなってきたよ。

ちなみにエクセルちゃんマジ天使。
これ手で計算したら死ぬと思ふ。



さて、今回のテーマは

初手率と期待値

「なんか教科書のタイトルみたい(´・ω・`)」
「初手率って何? なんの期待値なの?」

とかいろいろと聞こえてきそうなので、先にいくつか前提の説明を。

初手率:最初の7ドローであるカードAが手札に存在する確率。
期待値:あるカードAが最初の7ドローの中に平均して何枚含まれるか。
     例)期待値1.5 → 初手に平均1.5枚 あるカードAが存在する。
○枚積み:今回は表中に18枚積みまでを計算してあります。
      あるカードAは1種類のカードではなく、例えば1ノード帯のカードとか、
      コマンドカードとか、大きな括りで見ることもあるので、暫定的に18枚にしました。

※ちなみに、初手率については前々回記事「初手で手札にある確率」でやったのと同じ。
 今回は条件を増やし、かつ期待値を加えてお送りします。

さて、表は以下より

初手率 1枚 2枚 3枚 4枚 5枚 6枚 7枚 期待値
18枚積み 96.63% 16.33% 30.85% 29.38% 15.20% 4.25% 0.59% 0.03% 2.52
17枚積み 95.72% 18.85% 32.32% 27.86% 13.00% 3.27% 0.41% 0.02% 2.38
16枚積み 94.61% 21.54% 33.43% 26.00% 10.90% 2.45% 0.27% 0.01% 2.24
15枚積み 93.27% 24.38% 34.13% 23.85% 8.94% 1.79% 0.18% 0.01% 2.10
14枚積み 91.64% 27.30% 34.35% 21.47% 7.16% 1.26% 0.11% 0.00% 1.96
13枚積み 89.69% 30.26% 34.04% 18.91% 5.56% 0.86% 0.06% 0.00% 1.82
12枚積み 87.37% 33.17% 33.17% 16.26% 4.18% 0.56% 0.04% 0.00% 1.68
11枚積み 84.60% 35.93% 31.70% 13.59% 3.02% 0.34% 0.02% 0.00% 1.54
10枚積み 81.33% 38.43% 29.64% 10.98% 2.08% 0.20% 0.01% 0.00% 1.40
9枚積み 77.49% 40.51% 27.01% 8.52% 1.34% 0.10% 0.00% 0.00% 1.26
8枚積み 72.99% 42.01% 23.85% 6.28% 0.80% 0.05% 0.00% 0.00% 1.12
7枚積み 67.74% 42.72% 20.24% 4.32% 0.43% 0.02% 0.00% 0.00% 0.98
6枚積み 61.64% 42.40% 16.31% 2.72% 0.20% 0.01% 0.00% #NUM! 0.84
5枚積み 54.57% 40.77% 12.23% 1.49% 0.07% 0.00% #NUM! #NUM! 0.70
4枚積み 46.41% 37.51% 8.23% 0.65% 0.02% #NUM! #NUM! #NUM! 0.56
3枚積み 37.04% 32.25% 4.61% 0.18% #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! 0.42
2枚積み 26.29% 24.57% 1.71% #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! 0.28
1枚積み 14.00% 14.00% #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! 0.14


「もう目がチカチカする…」

という声が聞こえてきそう…同感です。

前回と同じくいくつか抽出してみていきたいと思います。

①3枚積みの5弾玉兎を初手で引く確率(初手率)と期待値
表の初手率列の3枚積みの欄をみてください。

初手率は 37.04%

初手に1枚ある確率は 32.25%
初手に2枚ある確率は  4.61%
初手に3枚ある確率は  0.18%

期待値は 0.42枚

つまり、おおよそ3分の1程度の確率で玉兎が初手にあります。
また、平均して0.42枚(→2試合に1回あるかないか)の玉兎がいます。

初手で1ノード帯のカードを安定して引くためには、期待値が1.0以上が望ましいです。

表で期待値が1.0を超えるのは8枚積みの1.12

なかなか厳しい枚数ですね(;´Д`)


②作戦阻止などのカウンターカードを初手で2枚以上引くには?
メガパデッキなんかで初手に2枚以上カウンターカードが欲しい場合。

表で期待値が2.0を超えるのは15枚積みの2.10

つまり、カウンターカードを合計15枚積めば、高確率で2枚以上初手に引くことが出来ます。
…こちらも結構多いですね(;´Д`)



こんな感じで表からいくつかのことが分かります。

今回はこの辺で終わります。
今後も誰得情報をお届け!



----------------------------------------計算課程----------------------------------------

初手率の計算課程については、前々回記事の応用なので割愛します。(前々回記事はこちら


Ⅰ、18枚積みの場合の期待値
 ①初手にあるカードAが1枚だけくる確率 ≒ 16.33%
 ②初手にあるカードAが2枚だけくる確率 ≒ 30.85%
 ③初手にあるカードAが3枚だけくる確率 ≒ 29.38%
 ④初手にあるカードAが4枚だけくる確率 ≒ 15.20%
 ⑤初手にあるカードAが5枚だけくる確率 ≒ 4.25%
 ⑥初手にあるカードAが6枚だけくる確率 ≒ 0.59%
 ⑦初手が全て(7枚)あるカードAである確率 ≒ 0.03%

 以上より、
 1×①+2×②+3×③+4×④+5×⑤+6×⑥+7×⑦ = 2.52 枚

 以下同様にして求める。




おまけ

表の中で0.00%のところがありますが、
さすがに0.00%はありえません。

実は0.00001%くらいの値が表示できていません。
なので、おまけとして有効桁数の多い表を以下より

…すいません、たぶん読めないと思います(-_-;)

初手率 1枚 2枚 3枚 4枚 5枚 6枚 7枚 期待値
18枚積み 96.630249% 16.330334% 30.846186% 29.377320% 15.195166% 4.254646% 0.594736% 0.031861% 2.52
17枚積み 95.723008% 18.850447% 32.315052% 27.857804% 13.000308% 3.271045% 0.408881% 0.019471% 2.38
16枚積み 94.614158% 21.543368% 33.429364% 26.000617% 10.903484% 2.453284% 0.272587% 0.011453% 2.24
15枚積み 93.267697% 24.375578% 34.125809% 23.851372% 8.944265% 1.788853% 0.175378% 0.006442% 2.10
14枚積み 91.642659% 27.300648% 34.345976% 21.466235% 7.155412% 1.262720% 0.108233% 0.003436% 1.96
13枚積み 89.692613% 30.257169% 34.039315% 18.910731% 5.561980% 0.858134% 0.063565% 0.001718% 1.82
12枚積み 87.365138% 33.166512% 33.166512% 16.258094% 4.180653% 0.557420% 0.035153% 0.000793% 1.68
11枚積み 84.601262% 35.930389% 31.703284% 13.587122% 3.019360% 0.342738% 0.018039% 0.000330% 1.54
10枚積み 81.334863% 38.428223% 29.644629% 10.979492% 2.077201% 0.196787% 0.008410% 0.000120% 1.40
9枚積み 77.492041% 40.514327% 27.009551% 8.516525% 1.344714% 0.103440% 0.003448% 0.000036% 1.26
8枚積み 72.990449% 42.014857% 23.846270% 6.275334% 0.804530% 0.048272% 0.001177% 0.000008% 1.12
7枚積み 67.738592% 42.724568% 20.237953% 4.324349% 0.432435% 0.018985% 0.000301% 0.000001% 0.98
6枚積み 61.635082% 42.403330% 16.308973% 2.718162% 0.198890% 0.005683% 0.000044% #NUM! 0.84
5枚積み 54.567860% 40.772433% 12.231730% 1.491674% 0.071032% 0.000991% #NUM! #NUM! 0.70
4枚積み 46.413374% 37.510638% 8.234043% 0.653495% 0.015198% #NUM! #NUM! #NUM! 0.56
3枚積み 37.035714% 32.250000% 4.607143% 0.178571% #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! 0.42
2枚積み 26.285714% 24.571429% 1.714286% #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! 0.28
1枚積み 14.000000% 14.000000% #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! #NUM! 0.14
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